Мы со школьной скамьи помним поэму философа и поэта Лукреция Карра «О природе вещей», в которой он утверждал, что Вселенная бесконечна. Его воззрения были близки многим, в том числе и автору этих строк. Однако сегодня мы знаем — взгляды Лукреция были ошибочны. Вселенная конечна, но не имеет предела.
Но с времен античности до 1870 года в науке о бесконечности господствовала доктрина Аристотеля, и только математик русско-немецкого происхождения Георг Кантор бросил вызов учению Аристотеля, полностью разрушив его фундамент и основав новую математику бесконечности.
- Аристотель в своих трудах подразумевал лишь потенциальную бесконечность. То есть: есть своего рода бесконечность списка, который конечен на каждый момент времени, но может расти бесконечно.Реклама
- А вот актуальная бесконечность Кантора — это все числа без исключения в одном списке, но этому списку нет конца, и нашему разуму не под силу представить его полностью.
Аристотель считал понятие актуальной бесконечности ересью. Когда Кантор познакомил со своими первыми работами немецкого ученого Вейерштрассе, тот посоветовал не публиковать их. Идеи Кантора были отвергнуты современниками и стали причиной его душевных страданий, а затем привели его к преждевременной смерти, но это не помешало ему вписать своё имя в историю математики как великого ученого .
Например, немецкий известный математик Кронекер называл Кантора «шарлатаном», «отступником», «развратителем молодежи»… Кантор впал в сильную депрессию.
В статье вспомним немного математики, чтобы лучше понять суть актуальной бесконечности. Нам всем известно из курса математики о существовании натуральных чисел: 1, 2, 3… Множество натуральных чисел и множество отрицательных чисел образуют множество целых чисел. А множество рациональных чисел (которое включает в себя множество целых чисел) и иррациональных чисел (Корень из двух) образуют множество вещественных чисел.
По Кантору, все эти множества эквивалентны актуальной бесконечности,
Открытие трансцендентных чисел, чисел с бесконечным числом цифр после запятой (число пи=3,14159…), нанесло окончательное поражение учению Аристотеля и способствовало развитию теории об актуальной бесконечности.
Кантор ввел понятие ординальных чисел,
Исследования в области бесконечности породили ряд математических парадоксов.
Парадокс английского логика Бертрана Рассела привел к кризису в математической науке на 30 лет. Он заключается в вопросе: «Является ли это множество, о котором я говорю, частью самого себя? Существует ли недоступное множество?»
На этот вопрос нет ответа и сегодня. Чтобы лучше разобраться в вопросах бесконечности, отсылаю читателей к специальной литературе.
Биографическая справка. Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. В 1856 году вместе с семьей переехал в Германию, а в 1867 году получил докторскую степень в Берлинском университете. В 1874 году выходит его первая работа, в которой впервые появляются идеи о бесконечности. Г. Кантор умер в психиатрической лечебнице в Галле в 1918 году.
Существует знаменитое высказывание Георга Кантора о математике: «Сущность математики — в ее свободе».
Стоит отметить немаловажную деталь, что ученый математик всегда с ностальгией вспоминал детство, проведенное в Санкт-Петербурге. Хотя всю оставшуюся жизнь Кантор прожил в Германии, он никогда не чувствовал себя там как дома.