По семейной традиции мальчику предстояло пополнить ряды купечества. В середине XIX века московские купцы, убедившиеся, что для успешной коммерческой деятельности нужны не только природный ум и деловая хватка, но и солидные знания, стремились дать детям хорошее образование. В 1868 году Алексея определили в реальное училище. Но учеба у него, как говорится, не пошла. Училище он так и не закончил.
Уже в зрелом возрасте он сумел немного наверстать упущенное, много занимаясь самостоятельно и посещая лекции в Московском университете. Но его к этому времени больше интересовали история и искусство, так как он страстно увлекся коллекционированием. Именно в этих направлениях его знания, по свидетельству современников, были глубоки и разносторонни.
Недоучившийся купец Алексей Морозов в 20 лет влился в семейное дело, войдя в руководство солидной мануфактуры «Товарищество Викулы Морозова сыновей». Естественно, что у него появились свободные деньги, и немалые, но тратить их так, как было заведено в среде купеческой молодежи, он не мог, не позволяла вера. Алексей, как и практически все Морозовы, был твердым приверженцем старообрядчества, а оно кутежи и фривольные приключения, мягко говоря, не одобряло. На что тратить деньги, Алексей Морозов нашел быстро — страстно увлекся собирательством, как и многие его родственники. Только предмет для коллекционирования он выбрал оригинальный — русский фарфор. Затем заинтересовался русской портретной гравюрой, старинными иконами. Вскоре его собирательская деятельность значительно расширилась, включив в себя несколько направлений русского прикладного искусства. Стоит отметить, что в тот период коллекционированием увлекались многие московские купцы.
В 1894 году Алексей Морозов возглавил семейное дело, но коммерция его уже давно не интересовала, и он постепенно стал передавать дела брату Ивану, окончательно отойдя от дел в 1900 году. Стоит отметить, что семейный бизнес Морозовых процветал, давая миллионные доходы, часть из которых Алексей стал тратить на пополнение своих коллекций, а их у него было несколько. Морозов кроме фарфора, гравюр и икон стал коллекционировать лубок, миниатюры, изделия из хрусталя и серебра, ткани, вышивки, игрушки. Причем практически все предметы в его коллекциях были произведениями отечественных мастеров.
Вскоре об основной коллекции Морозова поползли по Москве слухи, якобы у Алексея Викуловича есть сервизы, на которых едали российские императоры, что некоторые из них он получил прямо из дворца, а другие приобрел за громадные деньги. Слухам способствовал он сам, так как свою коллекцию показывал только очень близким людям.
Павел Бурышкин, знавший о коллекции не понаслышке, писал, что у Алексея Морозова «была на редкость полная и прекрасно подобранная коллекция русского фарфора. В Москве эту коллекцию знали мало, так как владелец не очень любил ее показывать. Было у него и хорошее собрание русских портретов».
Коллекции и на самом деле были уникальными, особенно фарфора и гравюр, по праву считавшихся самыми полными в стране. В коллекции фарфора было около 2,5 тысяч предметов, практически все, что выпускали хотя бы небольшими сериями российские фарфоровые заводы со времен Елизаветы Петровны. На расходы Алексей Викулович не скупился, поэтому многие предметы приобретались не только в России, но и за границей на аукционах и у антикваров.
Большой интерес для специалистов представляло и его собрание русских гравюр и литографий. Перед Первой мировой войной эта коллекция насчитывала около десяти тысяч оттисков, отдельные из которых были в свое время отпечатаны только в нескольких экземплярах. Гравюры Алексей Морозов приобретал не только отдельными листами, но и большими коллекциями. Ему удалось выкупить собрания гравюр у коллекционеров
Как и любой настоящий собиратель, Алексей Викулович Морозов занимался кропотливым изучением предметов, попадавших в его коллекции. В результате им было издано несколько книг, в том числе многотомный «Каталог моего собрания русских гравированных и литографированных портретов», в котором описано более 8000 гравюр и приведено 1142 иллюстрации. Каталог Морозов посвятил памяти крупного коллекционера Дмитрия Александровича Ровинского, труды которого по истории гравированного портрета считал своими настольными книгами. Кстати, и книги самого Алексея Викуловича практически сразу же по издании становились библиографической редкостью и получали высочайшие оценки искусствоведов.
Для своих коллекций Морозов выделил второй этаж в большом доме на Покровке (ныне Подсосенский переулок, 21), который достался ему по наследству. Вскоре места для коллекций стало не хватать, пришлось пристраивать новое здание. Для размещения коллекций старый особняк пришлось специально перестраивать, для этого Морозов пригласил известного архитектора
Перед войной Алексей Викулович стал задумываться о судьбе своих коллекций, и после долгих раздумий решил передать их в дар городу. Видимо, этот вопрос он обсуждал с коллекционерами и московскими властями, так как в 1913 году в журнале «Русский библиофил» появилась заметка, в которой говорилось, что «по распространившимся в городе слухам,
Начавшаяся война помешала выполнить эти планы, а после октябрьских событий 1917 года коллекции Морозова вообще чуть не погибли. Дом был захвачен анархистами, которые к «буржуазным цацкам» отнеслись соответственно своим воззрениям. К счастью, их вскоре из здания выбили, а коллекцию национализировали, но ущерб ей был нанесен значительный.
В особняке открыли Музей-выставку русской художественной старины, Морозову же выделили для жительства две комнаты и назначили хранителем. Так как основу коллекции составляло собрание фарфора, музей в 1921 году был реорганизован в Музей фарфора, при этом часть коллекций других тематик были из него изъяты.
В конце 20-х годов в Москве проводилась активная реорганизация музейных коллекций, не избежало её и собрание Морозова. Сначала оно переехало в особняк
Морозов тяжело переживал все перипетии, происходящие с его коллекциями, что не могло не сказаться на его здоровье. 2 декабря 1934 года Алексей Викулович Морозов умер. Похоронили коллекционера в Москве на Преображенском кладбище.