Родился Юрий Мефодьевич 18 июня 1935 года в Чите. Его отец преподавал музыкальные дисциплины, а мать руководила музыкальной студией. Окончив школу, Юрий Соломин отправился поступать в Щепкинское училище в Москву. После дипломного спектакля был приглашен в Малый драматический театр. Младший брат Юрия, Виталий, пошел по стопам брата и стал актером. Позже они оба станут любимцами публики.
Театральная биография Юрия Соломина насчитывает более 50 ролей. В их числе: Хлестаков в гоголевском «Ревизоре», Федя Протасов в «Живом трупе» Льва Толстого, Ваня в «Униженных и оскорблённых»
С 1984 года Юрий Мефодьевич попробовал себя в роли режиссера. На его счету более десяти спектаклей. С 1998 года и до конца жизни Соломин являлся художественным руководителем Малого театра.
В кинематографе дебют Юрия Соломина состоялся в фильме «Бессонная ночь», где он исполнил главную роль. Признание и любовь артисту принесла роль Павла Кольцова в телевизионном фильме «Адъютант его превосходительства». Юрий исполнял главные роли во многих известных кинокартинах. В этом числе фильм «Дерсу Узала» Акиры Куросавы, который впоследствии получил «Оскар». В кинокартине «Летучая мышь» создал великолепный дуэт со своим братом Виталием, а в шпионской ленте «Четвертый» сыграл с Владимиром Высоцким. Также участвовал в создании фильмов в качестве режиссера.
Преподавательская деятельность Юрия Мефодьевича началась в 1960 году. Он преподавал в Высшем театральном училище имени
Вклад в общественную деятельность занимает отдельное место в биографии артиста. C 8 сентября 1990 по 15 ноября 1991 года он являлся министром культуры РСФСР. Был членом Союза кинематографистов России, президентом Ассоциации русских драматических театров. Юрий Соломин — академик Национальной академии кинематографических искусств и наук России, академик Российской академии образования.
Званий и наград у Ю. Соломина за его актерскую деятельность накопилось огромное количество. В их числе: Государственная премия РСФСР имени братьев Васильевых, Заслуженный артист РСФСР, Народный артист РСФСР, Народный артист СССР, Орден «За заслуги перед Отечеством» (IV, III, II, I степени), Орден Дружбы народов, Орден Почёта, Орден Восходящего солнца III степени, Герой Труда Российской Федерации. И это лишь малая часть.
Юрий Мефодьевич Соломин запомнился зрителю как многогранный и талантливый артист. Он был способен органично смотреться в любой роли, мог существовать как в классической пьесе, так и в современном репертуаре. Зрители были покорены его обаянием и тонким юмором. Его имя навсегда останется связано с Малым драматическим театром, а кинокартины с его участием будут любимы еще много лет.